С самого начала изучения линейной алгебры меня интересует вопрос, на который я все еще не могу найти ответа: что такое матрица (в сущности)? Интересует именно история введения этого понятия в математику.
То что это упорядоченная таблица - не определение. То же касается и векторов, хотя интуитивно они более приемлемы.
Я заметил твой тред в /b/, он уже испарился, так что пишу сюда. Я конечно не математик, но что-то знаю и в интернете читать могу.
Как я знаю, матрицы ввел в математику американец Джеймс Джозеф Сильвестр в 19 веке. Но он не один внёс вклад в линейную алгебру. Введи в яндексе или гугле "история линейной алгебры" или "history of linear algebra". Гугл выдаёт интересный перечень персоналий. Вот ещё есть Герман Гюнтер Грассман, который внёс фундаментальный вклад в линейную алгебру.
Надо понимать, что математики постоянно друг у друга в учебниках и трактатах пиздят материал. Ещё порой творчески его перерабатывая, в соответствии со своими взглядами. И не в пределах одной страны, а вообще между странами пиздят. У нас, должно быть, скопипастили кучу всего с западных учебников и работ математиков, переработали, дополнили, и основали свою собственную школу. А концы поди сыщи, откуда всё это повелось. Оно десятилетиями и веками тянется. И у нас копипастили не одномоментно, а на протяжении долгого времени.
Вообще, современная линейная алгебра сложилась не сразу. На протяжении не одного века знания копились, их переосмысливали, переписывали учебники. Это как компьютерная программа - её пишут, программа развивается, её могут прорефакторить, и не один раз.
По сути, матрица это соответствие между конечным множеством пар натуральных чисел (координат строк и столбцов) и некоторым множеством, из которого состоят величины в ячейках матрицы. Для удобства, это соответствие задаётся таблицей. Соответствие - это функция. Т.е. матрицы это просто вид функций.
Теория матриц не сразу сложилась. Вот например Гугл пишет по запросу "who introduced matrix multiplication in mathematics" - это был Jacques Philippe Marie Binet в 1812 году. В общем, это надо глубоко копать, выяснять, кто, что, когда сделал, предложил и придумал.
Кстати, на матрицах линейная алгебра совсем не заканчивается, а только начинается. Бери учебник(и), читай. Чтиво трудное, долгое и занятное.
>меня интересует вопрос, на который я все еще не могу найти ответа: что такое матрица
Насколько мне известно: линейные преобразования.
Умножаешь вектор и получаешь образ.
матрица - это способ записать линейное преобразование между пространствами с базисом. но в отрыве от контекста матрица это действительно всего лишь упорядоченная таблица
Есть такая штука как векторные пространства. Это любые такие множества, элементы которых можно складывать и умножать на числа (допустим, только вещественные). То есть векторное пространство - это некое множество с алгебраической структурой.
В математике когда есть множества со структурой, то между ними любят рассматривать отображения, но не абы какие, а сохраняющие эту структуру. В данном случае это означает, что они должны переводить сумму в сумму ($f(v + u) = f(v) + f(u)$), а умножение на скаляр в умножение на скаляр ($f(av) = af(v)$). Такие отображения называются линейными.
Но в таком виде это очень абстрактно. В частности, не очень понятно, как можно было бы задать хоть какое-нибудь конкретное линейное преобразование, не задавая его буквально на каждом векторе. Ну разве что "единичное" преобразование, которое ничего не делает: $f(v) = v$, но это как-то скучно.
Для любых конкретных расчётов используют так называемый базис. Дело в том, что в любом не слишком огромном (не буду объяснять, что это значит) векторном пространстве можно выбрать конечный (!) набор векторов, который его "порождает". Это значит, что любой вектор v должен единственным образом представляться в виде так называемой линейной комбинации $v = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \ldots + a_n e_n$, где $e_1, ..., e_n$ - элементы базиса, а $a_1, \ldots, a_n$ - какие-то вещественные числа (они называются коэффициентами, или координатами). Этот базис в некотором смысле позволяет изучать свойства сразу всего пространства (которое, как множество, скорее всего, бесконечно), обращаясь лишь к конечному (!) числу его элементов. Удобно.
В частности, легко поверить в следующее замечательное свойство. Допустим, ты таки хочешь задать линейное отображение из одного пространства в другое. И допустим, ты выбрал в первом пространстве базис $e_1, \ldots, e_n$. Утверждается, что если ты задашь, куда должны при отображении переходить вот эти $n$ базисных элементов, то это сразу зафиксирует тебе всё отображение! Действительно, ведь любой другой вектор v представляется в виде $v = a_1 e_1 + \ldots + a_n e_n$, а значит, поскольку наше будущее отображение $f$ обязано быть линейно, то $f(v)$ просто обязано быть равно $f(v) = f(a_1 e_1 + \ldots + a_n e_n) = f(a_1 e_1) + \ldots + f(a_n e_n) = a_1 f(e_1) + \ldots + a_n f(e_n)$ - а это уже какое-то конкретное число, т.к. мы договорились, что все $f(e_1), \ldots, f(e_n)$ мы задали.
Так вот! При чём же здесь матрицы?
Если заодно выбрать во втором пространстве базис $g_1, \ldots, g_m$ ($m$ может быть не равно $n$, это нормально), то можно же вообще сделать ход конём и в этом базисе расписать уже сами значения $f(e_1), \ldots, f(e_n)$. Получится что-то вроде
$f(e_1) = a_{11} g_1 + \ldots + a_{m1} g_m$
$f(e_2) = a_{12} g_1 + \ldots + a_{m2} g_m$
$\vdots$
$f(e_n) = a_{1n} g_1 + \ldots + a_{mn} g_m$
Погодите-ка...
$\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm} \end{pmatrix}$
Вот так вот! Оказывается, вот этот набор из $n \cdot m$ чисел полностью нам задаёт линейное преобразование $f$, ведь в каждом столбце матрицы записаны координаты соответствующего $f(e_i)$ в базисе $g_1, \ldots, g_m$, а, зная $f(e_i)$, можно вычислить $f$ уже от произвольного $v$.
Почему это полезно?
Потому что с матрицами удобно проводить вычисления. Например, есть известное правило для умножения матриц; более того, разработаны эффективные алгоритмы для его вычисления, которые работают намного быстрее, чем "в лоб". А умножение матриц, на самом деле, отвечает композиции, т.е. последовательному применению их линейных преобразований. То есть это реально полезная операция, у которой есть математический смысл, а не просто "ой, а давайте придумаем какое-нибудь смешное умножение с этими матрицами, потому что можем".
В заключение хочу сказать, что очень важно различать матрицу и линейное преобразование, которое она кодирует. Одно и то же преобразование будет кодироваться разными матрицами в разных базисах (помнишь, мы в начале выбрали $\{ e_i\ }$ и $\{ g_j \}$ в наших пространствах? так вот, могли бы выбрать какие-нибудь другие базисы, и тогда числа в матрице вышли бы другие). Можно думать об этом так, что преобразование - это некий реальный, настоящий объект; а матрица - это как бы его фотография. Объект один и тот же, но фотографий можно сделать много разных (хотя как бы понятно, что они все про одно и то же, но сами по себе они различны).
В частности (ну это уже так, для общего развития добавляю), некоторые свойства матриц - это не свойства матриц на самом деле, а свойства линейных преобразований. Взять, например, определитель. Вводят его обычно как некую страшную знакопеременную сумму от элементов матрицы. Но оказывается, что если одно и то же линейное преобразование записать разными матрицами (в разных базисах), то определитель всегда будет получаться одинаковый!!! Ещё из таких инвариантов есть след, характеристический многочлен, спектр и т.д. Их все частенько определяют через матрицы, но это просто некая интеллектуальная лень: в действительности, определять можно и нужно сразу на уровне линейных преобразований (для математиков, во всяком случае; остальным и так сойдёт).
То есть да, матрицы это не просто таблицы чисел. Они кодируют линейные преобразования, и именно этим объясняются все их свойства, все операции и т.д., и т.п.
Ух, насрал полотно.
> лучше просто аккуратно разобрать хорошее современное изложение вопроса, а не пытаться пройти стопами первооткрывателей
в математике так делать лучше почти всегда или даже вообще всегда, если есть выбор вообще
Вот не факт, на самом деле! Наверное, зависит от индивидуальных склонностей. Я, скажем, по абстрактной алгебре скорее не очень, поэтому определение группы мне нравится воспринимать только в контексте понятия групп преобразований, как это и представляли себе исторически люди, вроде Галуа, Клейна и даже Пуанкаре. Тем более что теорема Кэли гарантирует, что это эквивалентный подход.
Или взять хотя бы эпсилон-дельта формализм в математическом анализе. Если честно, чёрт ногу сломит. А исторически было что? Исторически были актуальные бесконечно малые, которыми свободно (и даже, можно сказать, вольно) оперировали все отцы анализа, а уже только в конце XIX века произошёл кризис оснований, в ходе которого напридумывали каких-то безумных построений, лишь бы только всё было "строго". Только во второй половине века XX с развитием логики оригинальную теорию бесконечно малых смогли абсолютно формально обосновать (это называется "нестандартный анализ").
Так вот, имхо нужно думать именно про актуальные бесконечно малые. Особенно помогает при этом знание основ дифференциальной геометрии, i.e. формализма касательных пространств и дифференциальных форм. Экзамены на мехмате сдать (поначалу) не поможет, но для духовного развития полезно.
ни эпсилон-дельта, ни бесконечно малые не представляют из себя удобоваримые конструкции. намного приятнее смотреть на эти вещи с точки зрения топологии (расширенной) прямой, т.е. говорить на языке открытых множеств
я не слышал ни про один пример, когда с помощью нестандартного анализа удалось вывести что-то нетривальное
Общетопологическое изложение анализа ничем не лучше и не хуже эпсилон-дельта. Чуть меньше символов, но по сути то же самое.
Речи не шло о том, что у нестандартного анализа больше объяснительной силы: он полностью эквивалентен стандартному. Речь о том, как приятнее думать, в том числе при первичном знакомстве с концептами (и я не только про базовые вещи, вроде определения предела, но и про что-нибудь вроде дифференциалов многих переменных, интегралов Стильтеса, etc. - с ними также помогает разобраться представление об актуальных бесконечно малых).
Рекомендую на эту тему книжку "Radically Elementary Probability Theory". В ней с использованием нестандартного анализа представлено альтернативное изложение основ теории вероятностей.
>ничем не лучше и не хуже эпсилон-дельта. Чуть меньше символов, но по сути то же самое.
конечно, лучше. символов меньше значительно, а кроме того - очень наглядно. да, технически это то же самое, но мы же про изложение говорим
про "бесконечно малые" я впервые услышал в школе, потом эти слова звучали иногда на первых курсах. я не понимал в них ничего. определение производной как отношение бесконечно малых приводило меня в ступор. слово "диффереренциал" вызывало неимоверный ужас. техника решения диффуров, когда слева и справа нужно умножить на dx, а потом проинтегрировать, приводила меня в ярость, потому что я не понимал, что такое dx, ни которое внезапно можно умножать, и нигде про это не было написано. не говоря уже про все эти "элементы площади" вида ds^2 или что-то в таком роде, чего нам тоже напихивали. в итоге я сумел избавиться от этих кошмаров, только когда нормально принялся за топологию и диф. геом., которых почему-то у нас сразу не было.
я и сейчас не понимаю, что такое "бесконечно малая". в нестандартном анализе за этим стоит чуть ли не целая теория, восходящая к основаниям, приятного очень мало. словом, мне непонятно, каким образом про бесконечно малые может быть кому-то приятнее думать, ну да каждому своё
Прям мои проблемы. Когда читал учебник по матану Ильина, Садовничего, Сендова, там про дифференциал довольно туманно было написано. Появлялось много вопросов. И как с ними обращаться также было не ясно.
Подозреваю, это рудимент от эпохи бесконечно малых.
Слава богу, для меня всё это было не самым насущным вопросом. И вообще, я не математик и не учился на него (а программист), в ВУЗе я матан не ботал, а просто сдавал ради галочки. Учебник читал из-за собственного любопытства и для общего развития.
>>121568 - кун
>А исторически было что?
Исторически было интуитивное понимание, которое намного ближе к $\epsilon-\delta$ формализму, чем к моделям и факторкольцу по ультрафильтру.
Желание заменить классический анализ на нестандартный это наваждение зумеров-андерградов из Computer Science которые читают блоги про теоркат и хотят заменить пи на тау.
зумеры пропихивают нестандартный анализ!!11!!!11 ПУЧК ПУЧК УЛЬТРАФИЛЬТРЫ НЕ ПРОЙДУТ!!!!!!!!!1
Выложи, пожалуйста, литературу, которая дала тебе понимание.
>>121595
По ходу, многие внимательные математики замечают непоследовательность в дифференциале. Я вот тоже при определении интеграла сразу подумал: а что за dx, что за x? А однокурсникам что? - зубрят как и все остальное.
Совершенно верно, коллега.
Я посчитал достаточным дать нужное ключевое слово, по которому вопрошающий мог бы найти ответ. И даже предпочел говорить не об отображении, а о более узком преобразовании, чтобы проще было запомнить.
Это Вы ниже изложили немалый материал о векторных пространствах?
не, мне было бы лень
особенно в отсутствии конкретных вопросов
Зачем dx в записи интеграла, если не касаться дифф форм, можно понять, если прочесть историю значка интеграла. Проблема в том, что интеграл сейчас сначала определяют через первообразную. В таком случае действительно непонятно, нахуя там dx.
если не касаться дифф. форм, понять, зачем там dx, решительно невозможно. историческое объяснение "сжимаем длину разбиения до бесконечно малой" принять невозможно
неприятно, когда ничего не понимаешь
а вот когда не понимаешь даже того, что ничего не понимаешь, это уже ничего так
>переменная, по которой производится интегрирование
В определении первообразной НЕ встречается понятие "интегрирования по переменной". Далее покажу, как дается в ВУЗе.
Функция - это множество пар.
Переменная в точке - это предел определенного вида.
Переменная функция - это функция, принимающее значение переменной в точке.
Первообразная - это функция с данной переменной функцией.
Все, нету никакого "интегрирования по переменной". Однокурсники слепо зубрят и не чуят, а сколь-либо внимательный их сокурсник утыкается в проблему.
В даваемых в ВУЗе определениях определенного интеграла (Римана, Дарбу) также НЕ встречается [math]dx[/math].
Интеграл - это предел последовательности сумм. Все, нету никакой переменной [math]x[/math] и никакого [math]dx[/math].
>>121609
>историческое объяснение "сжимаем длину разбиения до бесконечно малой" принять невозможно
Да даже бы и приняли, несмотря на непоследовательность. Однако ВУЗовский курс этого даже не оговаривает, а просто делает вид, что все последовательно и логично.
>касаться дифф. форм
Не могли бы указать литературу?
бл, точно! Сорян. Производная в точке, производная функция. Во я дал конечно.
>Не могли бы указать литературу?
https://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/forms.pdf
>По ходу, многие внимательные математики замечают непоследовательность в дифференциал
Нет никакой "непоследовательности". Это ещё одно отражение того что писали тут >>121598
Определения это круто. А как вычисляется первообразная, не подскажешь?
>Определения это круто. А как вычисляется первообразная, не подскажешь?
По таблицам как "антипроизводная", а также с применением теорем об интегрировании с заменой, по частям и т. п.
Если вопрос о решении задач на интегрирование методом замены, то я решал их без замены, производя интегрирование напрямую, т. е. так, как это делается в доказательстве теоремы. "Дифференциал" оказывался ненужным.
>без замены, производя интегрирование напрямую
Зачем? Это просто повышает вероятность ошибки без каких-то видимых профитов.
>если не касаться дифф. форм
вот только они выглядят как третье колесо, если сидеть в R^n. А рассказть что-либо не про R^n вкатуну невозможно.
во-первых, я не согласен
во-вторых, я не намеревался начинать спор о том, что делать вкатунам. я поделился немного своим собственным опытом: для меня dx был настоящей проблемой, которая мне очень мешала. мне до сих пор немного не по себе, когда я вижу этот знак, хотя (вроде бы) понимаю его намного лучше
>Зачем?
Для соблюдения теории.
Никакой ошибки не будет. Кстати, в средней школе не знал, что такое дискриминант - прошел и забыл, всегда выделял полный квадрат.
Возвращаясь к ВУЗовскому анализу, считаю, что нужно записывать интеграл без дифференциала, а понятие дифференциала и дифференциальных уравнений вводить отдельно.
>для меня dx был настоящей проблемой, которая мне очень мешала
Смешно, что ВУЗовские преподаватели не обращают внимания на эту проблему. Так пойдет! Все нормально.
если ты будешь записывать интгерал как $\int f(x)$, ты не сможешь сделать в нём замену переменной $x = x(y)$
[math]\int f[/math]. Нужно понимать и различать, что [math]f[/math] - это функция, [math]fx[/math] - значение функции, в общем, не одно и то же.
Замена не нужна, что объяснено выше.
Для всех прикладников, даже теорфизиков из шизтеха, этот подход откровенно вредный, причины самоочевидны. Для большинства математиков, на мой взгляд, просто бессмысленный. Вузовский подход к изучению чистой математики в современных реалиях имеет куда более серьёзные проблемы, но это совсем другая история.
Я не представляю подход. Я представляю следствия из определений.
Исходя из даваемых в первом семестре определений функции, предела, интеграла - дифференциал неуместен.
значения здесь не при чём. интеграл зависит не от переменной, а от меры (формы объёма) на области интегрирования. для заданного интеграла диффеоморфизм области интегрирования на другую (то, что стоит в дейтсвительности за заменой переменной) влечёт за собой преобразование меры по особому правилу (push forward), которое и зашито в запись $dx$. пренебрегать этой операцией нельзя, мы хотим знать, как изменяется интеграл при диффеоморфизме области. в то же время, если зафиксировать запись $\int f$, соответствующе правило превращается в бред.
дело в том, что интеграл зависит от меры, и потому обозначение для меры в его записи должно быть отражено обязательно
Как бы в подтверждение, вот наткнулся буквально только что
Посту два дня, то есть даже специально искать не надо
Нестандартный анализ прямо так особо беспокоит погромистов, философов, и прочих вкатунов которые слишком много времени провели в научпоп пабликах и тиктоках
>преобразование меры
>интеграл зависит от меры
Форма это не мера. Форма может индуцировать меру.
в диф. геоме часто отождествляют эти два понятия, и я позволил себе тоже