А если к радикалам мы добавим «модифицированные радикалы», определяемые как корень уравнения x^n - b*x - a = 0, то до какой степени мы сможем добраться? Понятно, что до пятой сможем. А дальше сможем?
Если речь про $\mathbb{C}$, то $$\forall n\in\mathbb{N} \exists x: \ \ x^n+a=0, \ \ a\in\mathbb{a},$$ а если речь про какое-то другое поле или тело, то ситуация усложняется. И тогда надо смотреть каждый конкретный случай отдельно.
По поводу уравнения вида $$x^n+bx+a=0$$ можно сказать, что тут для $\mathbb{C}$ в радикалах выше третьей степени нельзя выразить решение. По крайней мере, я не знаю, как тут быть. Единственное, что я могу посоветовать, поискать на форумах или в статьях по такому вопросу. Думаю, кто-то мог найти какую-нибудь хитрую постановку(замену переменной), чтобы выразить в радикалах.